Hình học đương đại Hình_học

Hình học Euclid

Bài chi tiết: Hình học Euclid
Bìa trước của bản dịch tiếng Anh đầu tiên của Henry Billingsley năm 1570

Hệ tiên đề hình học đầu tiên được tập hợp hệ thống và công bố trong tác phẩm Cơ sở của Euclid. Hệ tiên đề này lấy mô hình từ không gian vật lý theo nhận thức của thời đó. Các khái niệm nguyên thuỷ trong hệ tiên đề này là điểm,đường thẳng và mặt phẳng. Từ ba khái niệm cơ bản này và một số rất ít các tiên đề, Euclid đã xây dựng thành nội dung toàn bộ môn hình học ở phổ thông hiện nay, mà sau này các nhà toán học gọi là hình học Euclid.

Tuy nhiên, các tiên đề/định đề và một số khái niệm do Euclid xây dựng chưa đủ chặt chẽ do chưa có sự hoàn thiện về lý thuyết tập hợp. Sau này David Hilbert đã hoàn chỉnh lại thành một hệ tiên đề chặt chẽ và hoàn chỉnh. Môn hình học dạy trong chương trình phổ thông hiện nay thường chia ra hình học phẳng và hình học không gian.

Hình học là một trong những môn học xuất hiện khá sớm. Hàng ngàn năm trước Công nguyên, con người đã phải đo đạc các thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch, xây dựng những kim tự tháp khổng lồ. Môn hình học lúc đầu ra đời có ý nghĩa là một khoa học về đo đạc. Nhưng rồi, con người không phải chỉ cần đo đất, mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp hơn. Tuy nhiên, hình học chỉ trở thành môn khoa học thực sự khi con người nêu lên các tính chất hình học bằng con đường suy diễn chặt chẽ, chứ không phải từ đo đạc trực tiếp.

Định đề thứ năm của Euclid và Hình học phi Euclid

Bài chi tiết: Hình học phi Euclid

Định đề thứ năm của Euclid gây nhiều sự chú ý của các nhà toán học vì nội dung của nó khá dài. Theo ngôn ngữ hiện nay thì định đề này có nội dung là:

"Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng luôn có và chỉ có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho".

Nhiều nhà toán học nghi ngờ rằng nó là một định lý, nghĩa là có thể suy ra từ các tiên đề khác và loay hoay tìm cách chứng minh nó. Nhưng không một ai thành công. Đến thế kỷ thứ 19, hầu như đồng thời và độc lập với nhau, ba nhà toán học ở Nga (Nikolai Ivanovich Lobachevsky), Đức (Carl Friedrich Gauss), và Hungary (János Bolyai) đã đặt ra một tư duy mới mẻ: "Chứng minh rằng nó không thể chứng minh được". Điều đó có nghĩa là ta có thể xây dựng một thứ hình học khác, trong đó tiên đề thứ năm là không đúng. Cả ba người đều đạt được kết quả. Từ đó ra đời hình học phi Euclid.